Element algebraiczny
Wygląd
Element algebraiczny – uogólnienie pojęcia liczby algebraicznej na rozszerzenia dowolnych ciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych nad ciałem liczb wymiernych.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie podciałem ciała Element nazywamy elementem algebraicznym nad wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach z ciała którego pierwiastkiem jest
Element niebędący algebraicznym nad nazywamy elementem przestępnym nad w ciele
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Zbiór wszystkich elementów ciała algebraicznych nad tworzy ciało, zwane rozszerzeniem algebraicznym ciała
- Jeśli jest elementem algebraicznym nad to
- (por. oznaczenia w artykule rozszerzenia ciał)
- Dla każdego elementu algebraicznego nad istnieje dokładnie jeden unormowany wielomian pierwszy o współczynnikach z ciała (tj. element pierwszy w pierścieniu ), którego pierwiastkiem jest Wielomian nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego Zachodzi Stopień ten nazywamy stopniem elementu algebraicznego
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.
- Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.